Regular polyhedra: eileamaidean co-chothromachd agus sgìre

Geometry bòidheach oir, eu-coltach ri algebra, nach eil daonnan soilleir carson agus dè tha thu a 'smaoineachadh, a' toirt lèirsinneach nì. Mhìorbhaileach seo an t-saoghail de dhiofar bhuidhnean adorn an cunbhalach polyhedra.

Fiosrachadh coitcheann air cunbhalach polyhedra

A rèir mòran, cunbhalach polyhedrons, no mar a tha iad a ghairm Platonic Teann-stuthan, shealbhachadh gun choimeas lotaichean. Le sin grunn nithean co-cheangailte saidheansail bheachd-bharail. Nuair a thòisicheas tu a 'sgrùdadh geoimeatrach dàta a' chuirp, tha thu a 'tuigsinn gu bheil cha mhòr nach eil fios mu dheidhinn a leithid de bhun-bheachd mar an cunbhalach polyhedra. Tha taisbeanadh de na rudan seo ann an sgoil nach eil e an-còmhnaidh inntinneach, mar sin, tha mòran nach fiù 's cuimhn' am dè bha iad a 'ghairm. In memory mhòr-chuid de dhaoine tha e dìreach cube. Chan eil gin de na bhuidheann geoimeatraidh Chan eil shealbhachadh leithid iomlanachd mar cunbhalach polyhedrons. A h-uile h-ainmean sin geoimeatrach buidhnean bho Seann Ghrèig. Iad a 'riochdachadh an àireamh de aghaidhean: an tetrahedron - ceithir-thaobhach, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, Dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Tha iad seo uile geoimeatrach corp a 'fuireach ann an àite cudromach aig Plato conception na cruinne-cè. Ceithir dhiubh an cèill no eileamaidean-nàdarrach: a 'tetrahedron - an teine, an icosahedron - uisge cube - talamh, octahedron - adhar. Dodecahedron an cèill a h-uile rud. Bha ea 'beachdachadh air a' phrìomh, mar shamhla air na cruinne-cè.

Tha generalization de na bun-bheachd a polyhedron

Polyhedron S e crìochnach chruinneachadh de Polygons leithid sin:

• gach aon de na taobhan sam bith de na Polygons e aig an aon àm ach aon taobh eile Polygon air an aon taobh;
• bho gach aon de na Polygons faodaidh tu coiseachd gu eile le bhith a 'dol seachad ri taobh leithid sin de chùis Polygons.

Polygons ciallachadh an polyhedron riochdachadh a aghaidhean agus an taobh - aisnichean. polyhedra vertices tha vertices de Polygons. Ma tha an teirm a 'tuigsinn Polygon flat dùinte polylines, agus an uair sin a' tighinn gu aon definition de polyhedron. Ann an suidheachadh far a rèir an teirm seo thathar a 'ciallachadh pàirt de na plèana a tha a' cuartachadh le sreathan a bhriseadh, thèid a 'tuigsinn uachdar a dhèanamh suas de poileaganach pìosan. Convex polyhedron goirear an corp na laighe air aon taobh de na plèana, ri taobh a h-aodainn.

Another definition de polyhedron agus a eileamaidean

Polyhedron ghairm uachdar a dhèanamh suas de Polygons, a tha a 'cuingealachadh nan geoimeatrach a chorp. Tha iad:

• neo-convex;
• convex (ceart agus ceàrr).

Regular polyhedron - 'S e convex polyhedron le maximal chothromachaidh. Elements of cunbhalach polyhedra:

• Tetrahedron: 6 aisnichean 4 aghaidhean 5 vertices;
• hexahedron (cube) 12, 6, 8;
• Dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Euler aig Theorem

Tha e a 'stèidheachadh ceangal eadar an àireamh de oirean, vertices agus aghaidhean topologically tha co-ionann ri cruinne. Cur ris an àireamh de vertices agus aodainn (B + D) eadar-dhealaichte aig cunbhalach polyhedra agus a 'dèanamh coimeas eadar iad le an àireamh de fhiodh, tha e comasach a chur an aon riaghailt: an t-suim air an àireamh de aghaidhean agus vertices co-ionann ris an àireamh de fhiodh (P) àrdachadh le 2. Faodaidh tu thaisbeanadh foirmle sìmplidh:

• B + D = P + 2.

E am foirmle seo dligheach airson a h-uile convex polyhedra.

mìneachaidhean bunaiteach

Tha bun-bheachd cunbhalach de polyhedron e do-dhèanta innse ann an aon abairt. Tha e tuilleadh a 'cur luach agus an tuim. Chaidh corp a bhith aithnichte mar sin, tha e riatanach gu bheil e a 'coinneachadh ri grunn de mhìneachaidhean. Mar sin, geoimeatrach buidheann a bhios gu cunbhalach nuair a tha na h-polyhedron tha choinnich:

• tha e convex;
• an aon àireamh de aisnichean coinneachadh aig gach vertices;
• a h-uile dual de aige - gu cunbhalach Polygons, co-ionnan ri chèile;
• All dihedral ceàrnan a tha co-ionnan.

Feartan cunbhalach polyhedra

Tha 5 diofar sheòrsaichean cunbhalach polyhedra:

1. Cube (hexahedron) - tha flat APEX ceàrn 90 °. Tha 3-taobhach ceàrn. Suim aghaidh ceàrnan aig APEX 270 °.
2. Tetrahedron - flat APEX ceàrn - 60 °. Tha 3-taobhach ceàrn. Suim aghaidh ceàrnan aig APEX - 180 °.
3. Octahedron - flat APEX ceàrn - 60 °. Tha ceithir-thaobhach ceàrn. Suim aghaidh ceàrnan aig APEX - 240 °.
4. Dodecahedron - còmhnard APEX ceàrn 108 °. Tha 3-taobhach ceàrn. Suim aghaidh ceàrnan aig APEX - 324 °.
5. Icosahedron - tha flat APEX ceàrn - 60 °. Tha còig-taobhach ceàrn. Suim aghaidh ceàrnan aig mullach 300 °.

Tha an sgìre gu cunbhalach polyhedra

Tha farsaingeachd de na buidhnean geoimeatrach (S) a thomhas gu cunbhalach mar Polygon sgìre air iomadachadh le àireamh de dual (G):

• 'S = (a: 2) x 2g CTG π / p.

Tha an leabhar ann an cunbhalach polyhedron

Tha seo a 'cur luach air a thomhas le iomadachaidh an tomhas-lìonaidh pioramaid cunbhalach aig a bheil ionad a tha cunbhalach Polygon, an àireamh de an aghaidh, agus a h-àirde a tha a' snaidheadh radius na cruinne (r):

• V = 1: 3rS.

Leabhraichean de cunbhalach polyhedra

Like sam bith eile geoimeatrach cruaidh, cunbhalach polyhedra tha diofar leabhraichean. Gu h-ìosal tha foirmlean le faod iad obrachadh a-mach:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (cube): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• Dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements of cunbhalach polyhedra

Hexahedron agus octahedron tha dùbailte geoimeatrach buidhnean. Ann am briathran eile, faodaidh iad a 'faighinn a-mach às a chèile ann an tachartas gu bheil an centroid aon a thogail mar mullach eile, agus a chaochladh. Cuideachd, tha dà icosahedron agus Dodecahedron. Tetrahedron fhèin a-mhàin a tha dùbailte. A rèir an dòigh Euclid Gheibhear bho Dodecahedron hexahedron le bhith a 'togail "mullaichean" air an aodainn air a' cube. Tha vertices an tetrahedron sam bith 4 vertices an ciùb, chan ri taobh an càraidean ri oir. Bho hexahedron (cube) Gheibhear, agus cunbhalach eile polyhedra. Ged a cunbhalach Polygons tha innumerable, cunbhalach polyhedra, chan eil ach 5.

Tha radii gu cunbhalach Polygons

Leis gach geoimeatrach de na buidhnean a tha co-cheangailte chearcallach rinndeal 3:

• mhìneachadh a 'dol tro vertices;
• snaidheadh a thaobh gach aon de na aghaidhean ann am meadhan e;
• mheadhanail a thaobh a h-uile h-oirean anns a 'mheadhan.

Tha radius a 'chruinne air a mhìneachadh le na leanas foirmle a thomhas:

• R = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

Tha radius a 'chruinne air a thomhas a sgrìobhadh mar a leanas:

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

far a bheil θ - dihedral ceàrn a tha eadar ri taobh dual.

Tha mheadhanail radius na cruinne Faodar obrachadh a-mach, a 'cleachdadh foirmle a leanas:

• ρ = a cos π / p: 2 peacadh π / s,

far Dheas = meud an 4.6, 6.10, no 10. Tha an co-mheas de na radii an snaidheadh air a mhìneachadh agus chumadalach a thaobh p agus q. Tha e air obrachadh a-mach mar a leanas:

• R / r = TG π / p x TG π / q.

Tha co-chothromachd de polyhedra

Tha co-chothromachd de cunbhalach polyhedra S e bun-ùidh do na buidhnean geoimeatrach. Thathar a 'tuigsinn mar a' gluasad a 'chuirp ann am fànais, a' fàgail an aon àireamh de vertices, aghaidhean agus oirean. Ann am briathran eile, fo bhuaidh co-chothromachd ath oir, Vertex, no an aghaidh a 'gleidheadh àite thùsail aice, no a' gluasad gu dachaigh suidheachadh eile asnaichean, vertices eile no an aghaidh.

Eileamaidean co-chothromachd de cunbhalach polyhedra tha cumanta a h-uile seòrsa geoimeatrach Teann-stuthan. An seo tha e air a dhèanamh air an dearbh-aithne cruth-atharrachadh, a 'fàgail sam bith de na puingean anns a' chiad suidheachadh. Mar sin, nuair a thionndaidheas tu an poileaganach priosam gheibh symmetries. Sam bith dhiubh a 'riochdachadh mar a' bhathar meòrachaidh. Symmetry, a tha a 'bhathar an àireamh fiù' s na faileasan, ris an canar dìreach. Ma tha e a 'bhathar de neònach àireamh de faileasan, an uair sin tha e air a ghairm air ais. Mar sin, a h-uile duine mu seach air feadh an loidhne a 'riochdachadh dìreach co-chothromachd. Sam bith meòrachadh polyhedron - 'S e co-chothromachd mhiùtach.

Gus tuigsinn nas fheàrr an co-chothromachd eileamaidean de na polyhedra cunbhalach, faodaidh tu an eisimpleir de na tetrahedron. Sam bith air an loidhne a bhios a 'dol tro aon de na vertices agus am meadhan na geoimeatrach a cumadh, a' gabhail àite, agus tro meadhan an oir mu choinneamh e. Gach aon de na seach 120 agus 240 ° timcheall air an loidhne le plural tetrahedral chothromachaidh. Bho 4 vertices agus an aghaidh, gheibh sinn gu h-iomlan dìreach ochd symmetries. Sam bith de na loidhnichean a 'dol tro meadhan na h-oirean agus meadhan an corp, tha e a' dol tro meadhan an oir mu choinneamh. Sam bith de chleachdadh bhàrran mu seach 180 °, ris an canar leth-tionndadh mun cuairt dhìreach chothromachaidh. Bho na tetrahedron Tha trì paidhrichean aisnichean, gu faigh thu trì loidhnichean co-chothromachd. Stèidhichte air na h-àrd, faodaidh sinn a cho-dhùnadh gu bheil an àireamh iomlan de dìreach co-chothromachd, agus a 'gabhail a-steach fèin-aithne chaochlaideach, bidh iad suas ri a dhà-dheug. Dìreach eile co-chothromachd tetrahedron eil ann, ach tha 12 mhiùtach chothromachaidh. Mar sin, ach 24 a chomharrachadh tetrahedron symmetries. Mar shoilleireachadh, faodaidh sinn a thogail modail de cunbhalach tetrahedron an dèanamh de chairt agus a 'dèanamh cinnteach gu bheil e a' bhuidheann geoimeatrach dha-rìribh a tha dìreach 24 chothromachaidh.

Dodecahedron agus icosahedron - fhaisge air a 'chorp sgìre. Icosahedron aig a bheil an àireamh as motha de aodainn, an dihedral ceàrn agus as a h-uile urrainn claonach gu teann ris a 'snaidheadh chruinne. Dodecahedron as ìsle angular tha an uireasbhaidh as motha cruaidh ceàrn aig Vertex. Faodaidh e mheudachadh a lìonadh ann an circumscribed chruinne.

sganaidh polyhedra

Regular polyhedra bhreac, a tha sinn uile còmhla steigte ann an leanabachd, tha tòrr de na bun-bheachdan. Ma tha seata de Polygons, gach taobh de a tha air a chomharrachadh ach ri aon taobh den polyhedron, a 'comharrachadh na pàrtaidhean Feumaidh gèilleadh le dà h-:

• gach Polygon, faodaidh tu a dhol gu Polygon a bhith a 'comharrachadh an taobh;
• aithneachadh taobh a bu chòir a bhith an aon fhaid.

Tha e seata de Polygons a 'coinneachadh ri na cumhaichean seo, agus tha e air a ghairm polyhedron bhreac. Tha gach aon de na buidhnean seo tha grunn dhiubh. Mar eisimpleir, ciùb a tha 11 pìosan.